Régi szokásunk, hogy az MTA új levelező tagjait

a Magyar Tudományban körkérdésekre adott válaszaik segítségével mutatjuk be.

Idén négy kérdésre kértünk választ.

1. Hogyan emlékszik vissza, mi volt a döntő mozzanat, pillanat az életében, amikor eldőlt – vagy eldöntötte –, hogy éppen ez a kérdés, probléma, tudományterület érdekli?

2. Mi az Ön eddigi legfontosabb tudományos eredménye?

3. Mi az a kérdés, probléma, ami az Ön tudományos területén ma nemzetközileg foglalkoztatja a kutatókat?

4. Kivel cserélne pályát? Akár egy másik tudományterületre, esetleg művészi pályára is gondolva…

KRISZTIN TIBOR (1956)

Matematikai Tudományok Osztálya • Szakterület: differenciálegyenletek • Foglalkozás: tanszékvezető egyetemi tanár, Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Alkalmazott és Numerikus Matematika Tanszék • Kutatási téma: dinamikai rendszerek, funkcionál-differenciálegyenletek

1. Abban az elhatározásomban, hogy matematikát tanuljak a szegedi egyetemen, döntő szerepe volt Pintér Lajosnak, aki egyetemi oktatóként szegedi és környékbeli középiskolásoknak tartott matematikai feladatmegoldó szakkört. Ő mutatta meg először a matematika szépségét, a felfedezés örömét. A differenciálegyenletek felé is ő terelt. Az időkésleltetést tartalmazó ún. funkcionál-

differenciálegyenletek területén Terjéki József mutatott olyan nyitott problémákat, amelyeket képes voltam megoldani. Ezzel indult tudományos pályám, és lényegében eldőlt, hogy mely tudományterület érdekel elsősorban. Később a differenciálegyenletek geometriai és globális elmélete vált a leginkább érdekessé számomra. Ebben meghatározó volt a Humboldt-ösztöndíjas időszak a németországi Giessenben, ahol együtt dolgozhattam Hans-Otto Walther professzorral.

2. Késleltetett monoton visszacsatolást modellező funkcionál-differenciálegyenletekre vonatkozik a legfontosabbnak tartott eredményem. Ezek az egyenletek a végtelen dimenziós dinamikai rendszerek egy fontos, speciális osztályát alkotják. A végtelen dimenziós fázistérben van egy véges dimenziós objektum, az ún. globális attraktor, amely kompakt, invariáns, és vonzza a fázistér minden korlátos részhalmazát. A globális attraktor jellemzése lényegében ekvivalens az összes megoldás aszimptotikus tulajdonságainak az ismeretével. Hans-Otto Walther és Jianhong Wu szerzőtársaimmal egy egyensúlyi helyzet instabil halmazának a dinamikai, geometriai és topológiai jellemzését adtuk meg. Megmutattuk, hogy bizonyos esetekben ez az instabil halmaz megegyezik a globális attraktorral. Ezt az attraktort Krisztin–Walther–Wu-attraktornak is nevezik. A legegyszerűbb esetben ez egy háromdimenziós orsószerű alakzat. Vannak magasabb dimenziós változatai is. Az eredmény megadja a periodikus pályák pontos számát, az egyensúlyi helyzetek és a periodikus pályák közötti ún. összekötő halmazok geometriai tulajdonságait. A bizonyítás felhasználja a végtelen dimenziós dinamikai rendszerek szinte teljes eszköztárát, sőt újakat is kifejleszt.

3. Számos jelenség matematikai modellezése vezet differenciálegyenlethez. A differenciálegyenlet vizsgálata, dinamikájának leírása az eredeti jelenség megértéséhez fontos. Folyamatosan vetődnek fel új típusú egyenletek, amelyek új módszereket igényelnek. Egy ilyen egyenletosztály az állapotfüggő késleltetésű differenciálegyenletek osztálya. Ezek vizsgálata egyrészt a sokféle alkalmazás miatt került előtérbe, másrészt elméleti szempontból is számos izgalmas, nyitott problémát vet fel. Vannak olyan egyszerűnek tűnő nemlineáris egyenletek, mint például a Wright-egyenlet, a Mackey–Glass-egyenlet, amelyek alapvető visszacsatolási mechanizmusokat modelleznek, de teljes megértésüktől nagyon messze vagyunk. Ezen egyenletek vizsgálata állandóan a kutatások homlokterében van, hisz a rájuk kapott eredmények várhatóan széles körben alkalmazhatók.

4. Nem jutott soha eszembe, hogy bárkivel is pályát cserélnék. Arra viszont többször gondoltam, hogy mi lett volna, ha egy-egy zseniális ötlet nekem jutott volna eszembe, vagy netán úgy tudnám megütni a teniszlabdát, mint Roger Federer.